弾性体のフックの法則

構造力学
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2025.03.31

弾性体のフックの法則についてのまとめです。

一般化されたフックの法則 (Generalized Hooke’s law)

応力成分が歪み成分の１次関数となる一般的な線形弾性材料の構成則は以下の一般化されたフックの法則で表されます。

\[\sigma_{i,j}=\sum_m \sum_n C_{ijmn} \varepsilon_{mn} \tag{1}\]

応力テンソル \(\sigma_{i,j}\) と歪みテンソル \(\varepsilon_{i,j}\) を関係付ける弾性係数テンソル \(C_{ijmn}\) は４階のテンソルとなり、\(3^4=81\) 個の成分を持ちます。応力・歪みのテンソル成分の対称性、

\[ \sigma_{i,j}=\sigma_{j,i}, \hspace{8pt} \varepsilon_{ij}=\varepsilon_{ji}\tag{2}\]

を考慮すると、

\[ C_{ijkl}=C_{jikl}, \hspace{8pt} C_{ijkl}=C_{jilk} \tag{3}\]

という対称性が成り立ち、独立な成分は 36 個になります。

\[
\begin{bmatrix}
\sigma_{11} \\
\sigma_{22} \\
\sigma_{33} \\
\sigma_{23} \\
\sigma_{31} \\
\sigma_{12} \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
C_{1111} & C_{1122} & C_{1133} & C_{1123} & C_{1131} & C_{1112} \\
C_{2211} & C_{2222} & C_{2233} & C_{2223} & C_{2231} & C_{2212} \\
C_{3311} & C_{3322} & C_{3333} & C_{3323} & C_{3331} & C_{3312} \\
C_{2311} & C_{2322} & C_{2333} & C_{2323} & C_{2331} & C_{2312} \\
C_{3111} & C_{3122} & C_{3133} & C_{3123} & C_{3131} & C_{3112} \\
C_{1211} & C_{1222} & C_{1233} & C_{1223} & C_{1231} & C_{1212} \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\varepsilon_{11} \\
\varepsilon_{22} \\
\varepsilon_{33} \\
2\varepsilon_{23} \\
2\varepsilon_{31} \\
2\varepsilon_{12} \\
\end{bmatrix}
\tag{4}\]

ここで、\(\begin{bmatrix}
\varepsilon_{11} & \varepsilon_{22} & \varepsilon_{33} & 2 \varepsilon_{23} & 2\varepsilon_{31} & 2\varepsilon_{12} \\
\end{bmatrix}^{\mathrm{T}}\) を工学歪みといいます。

Voigt（フォークト）の表記法、

\[1 \equiv 11\,(xx), \,\, 2 \equiv 22\,(yy), \,\, 3 \equiv 33\,(zz), \,\, 4 \equiv 23\,(yz), \,\, 5 \equiv 31\,(zx), \,\, 6 \equiv 12\,(xy)\]

を用いると以下のように表せます。

\[\begin{bmatrix}
\sigma_{1} \\
\sigma_{2} \\
\sigma_{3} \\
\sigma_{4} \\
\sigma_{5} \\
\sigma_{6} \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
C_{11} & C_{12} & C_{13} & C_{14} & C_{15} & C_{16} \\
C_{21} & C_{22} & C_{23} & C_{24} & C_{25} & C_{26} \\
C_{31} & C_{32} & C_{33} & C_{34} & C_{35} & C_{36} \\
C_{41} & C_{42} & C_{43} & C_{44} & C_{45} & C_{46} \\
C_{51} & C_{52} & C_{53} & C_{54} & C_{55} & C_{56} \\
C_{61} & C_{62} & C_{63} & C_{64} & C_{65} & C_{66} \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\varepsilon_{1} \\
\varepsilon_{2} \\
\varepsilon_{3} \\
\varepsilon_{4} \\
\varepsilon_{5} \\
\varepsilon_{6} \\
\end{bmatrix}
\tag{5}\]

また、次式で定義される弾性エネルギー密度、

\[U=\frac{1}{2} \sum_m \sum_n C_{mn} \varepsilon_m \varepsilon_n\tag{6}\]

より、

\[C_{mn}=\frac{\partial U}{\partial \varepsilon_m \partial \varepsilon_n}=\frac{\partial U}{\partial \varepsilon_n \partial \varepsilon_m}= C_{nm} \tag{7}\]

となり、一般的な異方性材料の構成則における独立定数は 21 個になります。

\[\begin{bmatrix}
\sigma_{1} \\
\sigma_{2} \\
\sigma_{3} \\
\sigma_{4} \\
\sigma_{5} \\
\sigma_{6} \\
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
C_{11} & C_{12} & C_{13} & C_{14} & C_{15} & C_{16} \\
C_{12} & C_{22} & C_{23} & C_{24} & C_{25} & C_{26} \\
C_{13} & C_{23} & C_{33} & C_{34} & C_{35} & C_{36} \\
C_{14} & C_{24} & C_{34} & C_{44} & C_{45} & C_{46} \\
C_{15} & C_{25} & C_{35} & C_{45} & C_{55} & C_{56} \\
C_{16} & C_{26} & C_{36} & C_{46} & C_{56} & C_{66} \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\varepsilon_{1} \\
\varepsilon_{2} \\
\varepsilon_{3} \\
\varepsilon_{4} \\
\varepsilon_{5} \\
\varepsilon_{6} \\
\end{bmatrix}
\tag{8}\]

直交異方性材料の構成則

互いに直交する３本の２回回転軸を持つ材料（例：斜方晶系）の場合で、独立な定数は９個です。

\[\begin{bmatrix}
\sigma_{1} \\
\sigma_{2} \\
\sigma_{3} \\
\sigma_{4} \\
\sigma_{5} \\
\sigma_{6} \\
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
C_{11} & C_{12} & C_{13} & 0 & 0 & 0 \\
C_{12} & C_{22} & C_{23} & 0 & 0 & 0 \\
C_{13} & C_{23} & C_{33} & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & C_{44} &0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & C_{55} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & C_{66} \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\varepsilon_{1} \\
\varepsilon_{2} \\
\varepsilon_{3} \\
\varepsilon_{4} \\
\varepsilon_{5} \\
\varepsilon_{6} \\
\end{bmatrix}
\tag{9}\]

六方晶の構成則

x-y面内で横等方性をもち、1つの６回回転軸持つ材料（例：Mg、GaN）の場合で、独立な定数は５個です。

\[\begin{bmatrix}
\sigma_{1} \\
\sigma_{2} \\
\sigma_{3} \\
\sigma_{4} \\
\sigma_{5} \\
\sigma_{6} \\
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
C_{11} & C_{12} & C_{13} & 0 & 0 & 0 \\
C_{12} & C_{11} & C_{13} & 0 & 0 & 0 \\
C_{13} & C_{13} & C_{33} & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & C_{44} &0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & C_{44} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cfrac{C_{11}-C_{12}}{2} \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\varepsilon_{1} \\
\varepsilon_{2} \\
\varepsilon_{3} \\
\varepsilon_{4} \\
\varepsilon_{5} \\
\varepsilon_{6} \\
\end{bmatrix}
\tag{10}\]

立方晶の構成則

互いに直交する３本の４回回転軸を持つ材料（例：Si、GaAs）の場合で、独立な定数は３個です。

\[\begin{bmatrix}
\sigma_{1} \\
\sigma_{2} \\
\sigma_{3} \\
\sigma_{4} \\
\sigma_{5} \\
\sigma_{6} \\
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
C_{11} & C_{12} & C_{12} & 0 & 0 & 0 \\
C_{12} & C_{11} & C_{12} & 0 & 0 & 0 \\
C_{12} & C_{12} & C_{11} & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & C_{44} &0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & C_{44} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & C_{44} \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\varepsilon_{1} \\
\varepsilon_{2} \\
\varepsilon_{3} \\
\varepsilon_{4} \\
\varepsilon_{5} \\
\varepsilon_{6} \\
\end{bmatrix}
\tag{11}\]

等方弾性体の構成則

独立な定数は２個です。

\[\begin{bmatrix}
\sigma_{1} \\
\sigma_{2} \\
\sigma_{3} \\
\sigma_{4} \\
\sigma_{5} \\
\sigma_{6} \\
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
C_{11} & C_{12} & C_{12} & 0 & 0 & 0 \\
C_{12} & C_{11} & C_{12} & 0 & 0 & 0 \\
C_{12} & C_{12} & C_{11} & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \frac{C_{11}-C_{12}}{2} &0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & \frac{C_{11}-C_{12}}{2} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{C_{11}-C_{12}}{2} \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\varepsilon_{1} \\
\varepsilon_{2} \\
\varepsilon_{3} \\
\varepsilon_{4} \\
\varepsilon_{5} \\
\varepsilon_{6} \\
\end{bmatrix}
\tag{12}\]

ヤング率とポアソン比を用いて書き直すと、

\[\begin{bmatrix}
\sigma_{1} \\
\sigma_{2} \\
\sigma_{3} \\
\sigma_{4} \\
\sigma_{5} \\
\sigma_{6} \\
\end{bmatrix}=
\frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \times \\
\begin{bmatrix}
1-\nu & \nu & \nu & 0 & 0 & 0 \\
\nu & 1-\nu & \nu & 0 & 0 & 0 \\
\nu & \nu & 1-\nu & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \frac{1-2\nu}{2} &0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1-2\nu}{2} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1-2\nu}{2} \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\varepsilon_{1} \\
\varepsilon_{2} \\
\varepsilon_{3} \\
\varepsilon_{4} \\
\varepsilon_{5} \\
\varepsilon_{6} \\
\end{bmatrix}
\tag{13}\]

歪みについて表すと、

\[\begin{bmatrix}
\varepsilon_{1} \\
\varepsilon_{2} \\
\varepsilon_{3} \\
\varepsilon_{4} \\
\varepsilon_{5} \\
\varepsilon_{6} \\
\end{bmatrix}=
\frac{1}{E}
\begin{bmatrix}
1 & -\nu & -\nu & 0 & 0 & 0 \\
-\nu & 1 & -\nu & 0 & 0 & 0 \\
-\nu & -\nu & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 2(1+\nu) &0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 2(1+\nu) & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2(1+\nu) \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\sigma_{1} \\
\sigma_{2} \\
\sigma_{3} \\
\sigma_{4} \\
\sigma_{5} \\
\sigma_{6} \\
\end{bmatrix}
\tag{14}\]

平面応力

z 方向の厚みが他の2方向に比べてはるかに小さい場合、z 方向の応力は小さいと考えられ 0 で近似でき、これを平面応力状態と呼びます。つまり、

\[\sigma_{33}=\sigma_{23}=\sigma_{31}=0\,\,(\sigma_3=\sigma_4=\sigma_5=0) \tag{15}\]

となり、これを式 (13)、式 (14) に代入すると面内の構成則は、

\[\begin{bmatrix}
\sigma_{11} \\
\sigma_{22} \\
\sigma_{12} \\
\end{bmatrix}=
\frac{E}{1-\nu^2}
\begin{bmatrix}
1 & \nu & 0 \\
\nu & 1 & 0 \\
0 & 0 & \frac{1-\nu}{2} \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\varepsilon_{11} \\
\varepsilon_{22} \\
2\varepsilon_{12} \\
\end{bmatrix}
\tag{16}\]

\[\begin{bmatrix}
\varepsilon_{11} \\
\varepsilon_{22} \\
2\varepsilon_{12} \\
\end{bmatrix}=
\frac{1}{E}
\begin{bmatrix}
1 & -\nu & 0 \\
-\nu & 1 & 0 \\
0 & 0 & 2(1+\nu) \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\sigma_{11} \\
\sigma_{22} \\
\sigma_{12} \\
\end{bmatrix}
\tag{17}\]

また以下の関係が成り立ちます。

\[\varepsilon_{33}=-\frac{\nu}{1-\nu}(\varepsilon_{11}+\varepsilon_{22})=-\frac{\nu}{E}(\sigma_{11}+\sigma_{22})\tag{18}\]

平面歪み

z 方向の厚みが他の2方向に比べてはるかに大きい場合、z 方向の歪みは小さいと考えられ 0 で近似でき、これを平面歪み状態と呼びます。つまり、

\[\varepsilon_{33}=\varepsilon_{23}=\varepsilon_{31}=0\,\,(\varepsilon_3=\varepsilon_4=\varepsilon_5=0) \tag{19}\]

となり、これを式 (13)、式 (14) に代入すると面内の構成則は、

\[\begin{bmatrix}
\sigma_{11} \\
\sigma_{22} \\
\sigma_{12} \\
\end{bmatrix}=
\frac{E}{(1+\nu)(1-\nu)}
\begin{bmatrix}
1-\nu & \nu & 0 \\
\nu & 1-\nu & 0 \\
0 & 0 & \frac{1-2\nu}{2} \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\varepsilon_{11} \\
\varepsilon_{22} \\
2\varepsilon_{12} \\
\end{bmatrix}
\tag{20}\]

\[\begin{bmatrix}
\varepsilon_{11} \\
\varepsilon_{22} \\
2\varepsilon_{12} \\
\end{bmatrix}=
\frac{1+\nu}{E}
\begin{bmatrix}
1-\nu & -\nu & 0 \\
-\nu & 1-\nu & 0 \\
0 & 0 & 2 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\sigma_{11} \\
\sigma_{22} \\
\sigma_{12} \\
\end{bmatrix}
\tag{21}\]

また以下の関係が成り立ちます。

\[\sigma_{33}=\nu(\sigma_{11}+\sigma_{22})=\frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}(\varepsilon_{11}+\varepsilon_{22})\tag{22}\]

参考

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