拡大熱抵抗（Thermal Spreading Resistance）

熱設計
2025.02.21

Y. S. Muzychka (2003) の論文 においてフーリエ級数を用いた温度場の解析解から拡大熱抵抗（Thermal Spreading Resistance）の式を求める方法に関するメモです。

拡大熱抵抗とは？

下の図は、長方形プレートの上面の一部に小さな長方形の熱源が接続し、側面は断熱、底面は周囲と熱伝達している状況を示しています。このように2つの部材の界面で熱の流路断面積が変化する場合、1次元の熱回路網では面内方向の熱の拡がりを表現できないため、熱回路網の接点上の温度を正しく予測することができなくなります。そこで、界面における温度分布を表現するため以下の式で定義される拡大熱抵抗 \(R_s\) を導入します。

\[ R_s=\frac{\overline{T_s}-\overline{T_{1D}}}{Q} \tag{1} \]

ここで \(\overline{T_s}\) は熱源面の平均温度で次式で与えられます。

\[ \overline{T_s}=\frac{1}{cd}\int^{Y_c+d/2}_{Y_c-d/2} \int^{X_c+c/2}_{X_c-c/2} T(x,y,0) dx dy \tag{2} \]

また \(\overline{T_{1D}}\) は \(z=0\) 面における平均温度（すなわち面内分布を考慮しない平均温度）で次式で与えられます。

\[ \overline{T_{1D}}=\frac{Q}{ab}\left(\frac{t_1}{k_1}+\frac{1}{h}\right) \tag{3} \]

つまり、拡大熱抵抗とは 1 W の熱を流した時に、注目しているパッチ領域（ここでは熱源）の平均温度の面内平均温度からの上昇分を意味します。

下図の右側には等価回路のイメージを載せています。

長方形プレート内の温度場

式（2）から分かるように \(R_s\) を求めるには まず長方形プレート内の温度場 \(T(x,y,z)\) を求める必要があり、以下の3次元の熱伝導方程式（ラプラス方程式）を解く必要があります。

\[ \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 T}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 T}{\partial z^2}=0 \tag{4} \]

このラプラス方程式を変数分離法で解きます。
温度 \(T\) を \(T_f\) を差し引いた超過分 \(\theta(x,y,z)=T(x,y,z)-T_f\) として置き換え、境界条件を考慮して温度場の一般解を次式のよう設定します。

\[ \theta(x,y,z)=\theta_{1D}(z)+\Delta\theta_s(x,y,z) \tag{5} \]

第1項は \( Q \) がプレート上面全体に均一に入った場合の温度で次式となります。

\[ \theta_{1D}=\frac{Q}{ab}\left(\frac{t_1}{k_1}+\frac{1}{h}\right)-\frac{Q}{k_1 ab}z \tag{6} \]

第2項は温度の面内の空間的な拡がりを表し、側面 \(x=0,a\) と \(y=0,b\) の境界条件 \(\partial T/\partial x=0 \) と \(\partial T/\partial y=0 \) を満たす解として次式のように置きます。

\begin{eqnarray}
\Delta\theta_s&=&\displaystyle \sum_{m=1} \cos(\lambda_m x)[A_m \cosh(\lambda_m z)+B_m \cosh(\lambda_m z)]\\
& &+\displaystyle \sum_{n=1} \cos(\delta_n y)[A_n \cosh(\delta_n z)+B_m \cosh(\delta_n z)]\\
& &+\displaystyle \sum_{m=1}\displaystyle \sum_{n=1} \cos(\lambda_m x)\cos(\delta_n y)[A_{mn} \cosh(\beta_{mn} z)+B_{mn} \cosh(\beta_{mn} z)]\\
\tag{7}
\end{eqnarray}

式（5）に \(z=t_1\) での境界条件 \(\partial \theta/\partial z=-h\theta/k_1\) を適用すると、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sum_{m=1}\lambda_m\cos(\lambda_m x)[A_m \sinh(\lambda_m t_1)+B_m \sinh(\lambda_m t_1)]+\cdots =\\
-\frac{h}{k_1}\left[\displaystyle \sum_{m=1} \cos(\lambda_m x)[A_m \cosh(\lambda_m t_1)+B_m \cosh(\lambda_m t_1)]\right]+\cdots
\end{eqnarray}

両辺のフーリエ係数を比較すると、

\[ B=-\phi(\zeta)A \tag{8} \]

ここで、

\[ \phi(\zeta)=\frac{\zeta \sinh(\zeta t_1)+h/k_1\cosh(\zeta t_1)}{\zeta \cosh(\zeta t_1)+h/k_1\sinh(\zeta t_1)} \tag{9} \]

となり、\( \zeta \) は \( \lambda_m \), \( \delta_n \), \( \beta_{mn} \) で置き換えられます。

次に式（5）に \(z=0\) での境界条件 \(\partial \theta/\partial z=-Q/k_1cd\) （熱源部分）、\(\partial \theta/\partial z=0\) （熱源部分以外）を適用すると、

\begin{eqnarray}
-\frac{Q}{k_1 ab}
-\displaystyle \sum_{m=1}\lambda_m\cos(\lambda_m x) \phi(\lambda_m)A_m
-\displaystyle \sum_{m=1}\delta_n\cos(\delta_n y) \phi(\delta_n)A_n\\
-\displaystyle \sum_{m=1}\displaystyle \sum_{n=1}\beta_{mn}\cos(\lambda_m x)\cos(\delta_n y) \phi(\beta_{mn})A_mn=-\frac{Q}{k_1cd} \quad \rm{or} \quad 0
\end{eqnarray}

上式両辺に \(\cos(\lambda_m x)\) をかけて長方形プレートの断面積（すなわち、\(x\) について \([0,a]\), \(y\) について \([0,b]\) ）で積分して整理すると、

\[ A_m=\frac{4Q}{abk_1}\frac{\cos(\lambda_m X_c)\sin(\frac{1}{2}\lambda_m c)}{\lambda_m c}\frac{1}{\lambda_m\phi(\lambda_m)} \tag{10} \]

同様に \(\cos(\delta_n y)\) をかけて積分すると、

\[ A_n=\frac{4Q}{abk_1}\frac{\cos(\delta_n Y_c)\sin(\frac{1}{2}\delta_n d)}{\delta_n d}\frac{1}{\delta_n\phi(\delta_n)} \tag{11} \]

同様に \(\cos(\lambda_m x)\cos(\delta_n y)\) をかけて積分すると、

\begin{eqnarray}
A_{mn}=\frac{4Q}{abk_1}\frac{\cos(\lambda_m X_c)\sin(\frac{1}{2}\lambda_m c)}{\lambda_m c}\frac{1}{\lambda_m\phi(\lambda_m)}\\
\times \frac{\cos(\delta_n Y_c)\sin(\frac{1}{2}\delta_n d)}{\delta_n d}\frac{1}{\delta_n\phi(\delta_n)} \tag{12}
\end{eqnarray}

これでフーリエ係数が決まりました。式（7）を式（8）の関係式を用いて書き直すと、

\begin{eqnarray}
\Delta\theta_s(x,y,z)=\displaystyle \sum_{m=1} \cos(\lambda_m x)A_m[\cosh(\lambda_m z)-\phi(\lambda_m) \cosh(\lambda_m z)]\\
+\displaystyle \sum_{n=1} \cos(\delta_n y)A_n[\cosh(\delta_n z)-\phi(\delta_n)\cosh(\delta_n z)]\\
+\displaystyle \sum_{m=1}\displaystyle \sum_{n=1} \cos(\lambda_m x)\cos(\delta_n y)A_{mn}[\cosh(\beta_{mn} z)-\phi(\beta_{mn})\cosh(\beta_{mn} z)]\\
\tag{13}
\end{eqnarray}

これで長方形プレート内の3次元温度場を計算することができます。

拡大熱抵抗の導出

式（1）で定義される \(z=0\) 面における拡大熱抵抗を \(\theta\) を用いて表し、式（5）を考慮すると、

\[ R_s=\frac{\overline{\theta_s}-\overline{\theta_{1D}}}{Q}=\frac{\overline{\Delta \theta_s}}{Q} \tag{14} \]

式（2）、式（13）を用いて \(\overline{\Delta \theta_s}\) を計算すると、

\begin{eqnarray}
\overline{\Delta \theta_s}&=&\frac{1}{cd}\int^{Y_c+d/2}_{Y_c-d/2} \int^{X_c+c/2}_{X_c-c/2} \Delta\theta_s(x,y,0) dx dy\\[8pt]
&=&2\displaystyle \sum_{m=1}A_m\frac{\cos(\lambda_m X_c)\sin(\frac{1}{2}\lambda_m c)}{\lambda_m c}\\[8pt]
& &+2\displaystyle \sum_{n=1}A_n\frac{\cos(\delta_n Y_c)\sin(\frac{1}{2}\delta_n d)}{\delta_n d}\\[8pt]
& &+4\displaystyle \sum_{m=1}\displaystyle \sum_{n=1}A_{mn}\frac{\cos(\lambda_m X_c)\sin(\frac{1}{2}\lambda_m c)}{\lambda_m c}\frac{\cos(\delta_n Y_c)\sin(\frac{1}{2}\delta_n d)}{\delta_n d}
\tag{15}
\end{eqnarray}

これで拡大熱抵抗を算出することができます。

熱源が複数ある場合

温度の面内の空間的な広がりは、式（13）で計算される個々の解の重ね合わせで求めることができます。\(N\) 個の熱源による \(z=0\) 面での \(\Delta\theta_s\) は、

\[ \Delta\theta_s(x, y, 0)=\displaystyle \sum^N_{i=1}\Delta\theta_{s,i}(x, y, 0) \tag{16} \]

よって \((X_p, Y_p)\) にある寸法 \(c_p \times d_p\) の任意の長方形パッチに対する拡大熱抵抗は、

\[ R_{s,p}=\frac{\overline{\Delta\theta_s}}{Q}=\frac{\displaystyle \sum^N_{i=1}\overline{\Delta\theta_{s,i}}}{Q} \tag{17} \]

ここで、

\begin{eqnarray}
\overline{\Delta \theta_{s,i}}&=&\frac{1}{c_p d_p}\int^{Y_p+d_p/2}_{Y_p-d_p/2} \int^{X_p+c_p/2}_{X_p-c_p/2} \Delta\theta_{s,i}(x,y,0) dx dy\\[8pt]
&=&2\displaystyle \sum_{m=1}A_m^i\frac{\cos(\lambda_m X_p)\sin(\frac{1}{2}\lambda_m c_p)}{\lambda_m c_p}\\[8pt]
& &+2\displaystyle \sum_{n=1}A_n^i\frac{\cos(\delta_n Y_p)\sin(\frac{1}{2}\delta_n d_p)}{\delta_n d_p}\\[8pt]
& &+4\displaystyle \sum_{m=1}\displaystyle \sum_{n=1}A_{mn}^i\frac{\cos(\lambda_m X_p)\sin(\frac{1}{2}\lambda_m c_p)}{\lambda_m c_p}\frac{\cos(\delta_n Y_p)\sin(\frac{1}{2}\delta_n d_p)}{\delta_n d_p}
\tag{18}
\end{eqnarray}

ここで、\(A_m^i\)、\(A_n^i\)、\(A_{mn}^i\) はそれぞれ式（10）、（11）、（12）において 熱源 \(i\) の位置・寸法・熱量を使用して計算します。

参考

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