こちらの記事 では Timoshenko のバイメタルの変形に関する式が、４つの条件、(1) 膜と基板の曲率が同じ、(2) 界面での歪みが連続、(3) 軸力のつり合い、(4) モーメントのつり合い、から求められることをまとめました。ここでは、(1) と (2) の２つの制約条件のもとで梁の弾性エネルギーを Lagrange の未定乗数法により最小化する問題から、(3) と (4) が導かれることを示します。
弾性エネルギーの最小化 \(\Leftrightarrow\) 軸力・モーメントのつり合い
制約条件となる同一の曲率 \(\kappa\) を用いて膜と基板の歪みを以下のように定義します。
\[ \varepsilon_f=\varepsilon_{f,0}+\kappa z\tag{1}\]
\[ \varepsilon_s=\varepsilon_{s,0}+\kappa z\tag{2}\]
次に、もう１つの制約条件となる界面での歪みの連続は以下のようになります。
\[ G=\varepsilon_{f,0}-\varepsilon_{s,0}+\frac{t_f+t_s}{2}\kappa-\Delta \varepsilon=0 \tag{3}\]
式 (3) を制約条件とした膜と基板の弾性エネルギーを Lagrange の未定乗数法により最小化する問題を考えます。\(\lambda\) を Lagrange 定数として、
\[
F = \int_{-t_f/2}^{t_f/2} \frac{1}{2}E_f \varepsilon_f^2 \,dz+\int_{-t_s/2}^{t_s/2} \frac{1}{2}E_s \varepsilon_s^2 \,dz – \lambda G \tag{4}
\]
と置いて、未知数 \(\varepsilon_{f,0}\)、\(\varepsilon_{s,0}\)、\(\kappa\)、\(\lambda\) を以下の式を解いて求めます。
\[
\frac{\partial F}{\partial \varepsilon_{f,0}}=0, \,\,\,\,
\frac{\partial F}{\partial \varepsilon_{s,0}}=0, \,\,\,\,
\frac{\partial F}{\partial \kappa}=0, \,\,\,\,
\frac{\partial F}{\partial \lambda}=G=0 \tag{5}
\]
式 (1) と式 (2) を式 (4) に代入すると、
\begin{eqnarray}
F &=& \int_{-t_f/2}^{t_f/2} \frac{1}{2}E_f \left(\varepsilon_{f,0}+\kappa z\right)^2 \,dz+\int_{-t_s/2}^{t_s/2} \frac{1}{2}E_s \left(\varepsilon_{s,0}+\kappa z\right)^2 \,dz – \lambda G\\[8pt]
&=& \frac{1}{2}E_f\left(\varepsilon_{f,0}^2 t_f+\frac{t_f^3}{12}\kappa^2\right) +
\frac{1}{2}E_f\left(\varepsilon_{s,0}^2 t_f+\frac{t_s^3}{12}\kappa^2\right) – \lambda G \tag{6}
\end{eqnarray}
これより、
\[\frac{\partial F}{\partial \varepsilon_{f,0}}=E_f t_f \varepsilon_{f,0}-\lambda=0\rightarrow \lambda=E_f t_f \varepsilon_{f,0} \tag{7}\]
\[\frac{\partial F}{\partial \varepsilon_{s,0}}=E_s t_s \varepsilon_{s,0}+\lambda=0\rightarrow \lambda=-E_s t_s \varepsilon_{s,0} \tag{8}\]
\[\frac{\partial F}{\partial \kappa}=\left(\frac{1}{12}E_f t_f^3+\frac{1}{12}E_s t_s^3\right)\kappa-\lambda\frac{t_f+t_s}{2}=0 \tag{9}\]
式 (7) と式 (8) において \(\lambda\) は軸力 \(N\) と解釈できるので、以下のように軸力のつり合いが求まります。
\[N=E_f t_f \varepsilon_{f,0}=-E_s t_s \varepsilon_{s,0} \tag{10}\]
また式 (9) を書き直すと、
\[
\frac{N(t_f+t_s)}{2} = \left(E_f \frac{t_f^3}{12}+E_s \frac{t_s^3}{12}\right)\kappa
= \left(E_f I_f+E_s I_s\right)\kappa=M_f+M_s
\tag{11}
\]
となり界面でのモーメントのつり合いが求まります。
このように、「一定の曲率」と「界面での歪み連続」という２つの制約条件において弾性エネルギーを最小化する問題から、軸力のつり合いとモーメントのつり合いが求まることが確認できました。逆に、２つの制約条件のもとで、軸力およびモーメントのつり合いが取れていることと、弾性エネルギーが最小になっていることは等価と考えられます。
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